状态空间模型与卡尔曼滤波

01

隐藏的真实状态

核心的框架是状态空间模型，它干净地分开了我们通常混为一谈的两样东西：世界的 真实状态，与我们对它的带噪一瞥。有一个隐藏的状态——比方说一个物体 真实的位置与速度——我们无法直接观测到它。它随时间按某种动态演化。我们得到的全部，是观测：那些等于真实状态、被噪声污染过的测量。

任务是从带噪的观测中估计隐藏状态，在它们到达时，一次一个。「递归」这个词是关键—— 滤波器在每一步并不重新处理全部历史；它向前携带一个运行中的最佳估计，并用每一个新测量去更新它， 而这恰恰是让它能在一条实时流上、用极小的内存运作的东西。

02

两个方程：动态与测量

一个线性状态空间模型不过是两个方程。状态转移方程说明隐藏状态 $\mathbf{x}$ 如何从一步演化到下一步：

而观测方程说明一个测量 $\mathbf{z}$ 如何与那个（看不见 的）状态相关联：

这里 $F$ 编码动态（状态如何移动——例如位置按速度更新），$H$ 把状态映射到测量，而两个噪声项 $\mathbf{w}_t$、$\mathbf{v}_t$ 是过程与测量的不确定性。整个滤波器的 任务，是在给定迄今所有带噪的 $\mathbf{z}$ 的条件下估计 $\mathbf{x}_t$——而关键地，要追踪那个估计有多不确定，因为正是 那份不确定性驱动着整件事。

03

递归：先预测，再更新

卡尔曼滤波对每一个新测量都循环两步——一种「先猜测再修正」的节奏：

• 预测——用动态（$F$）把当前估计向前投射到下一个时间步。 估计移动，而——因为世界是不确定的——它的不确定性增长。这是滤波器在看到新数据之前的最佳猜测。
• 更新——一个新测量到达。把预测朝它修正，修正量取决于相对的不确定性，而估计的 不确定性缩小（你学到了一些东西）。这个修正后的估计，成为下一次预测的起点。

先预测再修正，永远如此。结果是一个被持续更新的最佳估计，它比原始测量更平滑、更准确——而且在 一种精确的意义上，对线性-高斯系统是最优的。

04

卡尔曼增益：信任谁

更新的核心是一个量：卡尔曼增益 $K$。它决定把预测朝 新测量移动多少——也就是，相对于你自己的预测，要多信任那个测量。修正后的估计本质上是：

那个括号——测量减去预测——是新息，那个惊讶。增益 $K$ 缩放 你吸收多少惊讶，而它由相对的不确定性来设定：

05

它用在哪里

卡尔曼滤波是工程中部署得最多的算法之一——它真的帮助把阿波罗送上了月球。它的归宿：

• 跟踪与导航——从带噪的、断断续续的定位中，估计一个移动物体（飞机、导弹、你手机的 位置）的位置与速度。
• 传感器融合——把多个带噪传感器（GPS + 加速度计 + 陀螺仪）最优地组合成一个 连贯的估计，各自按其可靠度加权。这是它的杀手级应用——一部手机或一架无人机正是这样知道自己在 哪里的。
• 平滑带噪信号——任何你有一个埋在噪声里的实时信号、想要一个干净的运行估计之处 （金融、控制系统、生物医学信号）。

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超越线性-高斯

经典的卡尔曼滤波在两个假设下被证明是最优的：动态是线性的、噪声是高斯的。真实世界常常把两者都打破——所以这个家族有一些扩展：

• 扩展 / 无迹卡尔曼滤波（EKF/UKF）——通过在当前估计周围线性化（EKF）或巧妙采样 （UKF），来处理非线性的动态。
• 粒子滤波——彻底丢掉高斯假设，用一团加权的样本来表示状态的不确定性（把蒙特卡洛的想法应用到滤波）。更灵活， 更昂贵。

在底下，所有这些做的都是递归贝叶斯估计——滤波器的预测-更新，正是贝叶斯的先验→后验循环，每个测量跑一次。 卡尔曼滤波，是那个一切都线性且高斯、因而有着漂亮闭式解的特例。

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它在我工作中的体现

08

60 秒回顾

状态空间的表述、预测-更新的递归、卡尔曼增益的直觉，以及非线性扩展，反映了当前的估计/传感器 融合参考文献以及课程。