分位数回归

普通回归回答一个问题：一个预测变量如何移动结果的平均值？那有用——而它能把几乎一切要紧的东西都藏起来。一项政策的平均效应可能很小，却对顶部帮助极大、对底部毫无帮助；等待时间的离散程度可能随需求拉大，即便均值稳稳不动。分位数回归超越平均值：它建模一个预测变量如何影响分布上任何选定的点——中位数、第 10 百分位、第 90——这样你看到的是对整个响应的影响，而不只是它的质心。

它是一个独特而出人意料地实用的工具——并干净利落地连到两个邻居：它的损失函数让它天然稳健，而对尾部建模又连到极值理论和预测区间。这一页讲这个想法、驱动它的那个巧妙的损失、如何读它的输出，以及它在哪里赢得自己的位置。

超越平均值

均值回归的局限在于，条件均值是一个单一的概括，而一个单一的概括无法捕捉一种关系如何随分布而变化。两种有着相同均值效应的情形可以完全不同：一个预测变量可能把所有人同等地往上抬，或者抬高顶部而让底部不动，或者在不移动中心的情况下增大离散程度。普通最小二乘对这三者报告同样的平均值，对其间的差别视而不见。

然而那个差别往往才是全部的重点——在公平上（「这帮的是最弱势的人，还是只帮了已经占优的人？」）、在风险上（「糟糕的情形有多糟，而不是典型情形？」），以及在服务保证上（「第 95 百分位的等待是多少，而不是平均等待？」）。分位数回归正是为回答这些而生的。

对一个条件分位数建模

这个想法是一个直接的推广。普通回归建模 $Y$ 在给定 $X$ 下的条件均值，而分位数回归把一个条件分位数 $\tau$ —— 例如 $\tau = 0.5$ （中位数），或 $0.9$ （第 90 百分位）——建模为预测变量的一个函数。在好几个分位数上拟合它，你就得到一族线，描述结果的底部、中部和顶部各自如何对预测变量做出响应。你建模了整个条件分布，而不只是它的均值。

弹球损失

其机制是损失函数的一个优雅的改变。普通回归最小化平方误差（它瞄准均值）；分位数回归最小化一个不对称的绝对误差——弹球（或检验）损失——它瞄准一个选定的分位数：

L_\tau(r) = \begin{cases} \tau\,r & r \ge 0 \\[3pt] (\tau - 1)\,r & r < 0 \end{cases}

那个不对称就是全部的诀窍。对 $\tau = 0.9$ ，低估（真值在线之上）受到的惩罚比高估重 9 倍——于是拟合的线被往上推，直到只有约 10% 的点落在它之上：第 90 百分位。调 $\tau$ ，你就能瞄准任何分位数。而因为它建立在绝对（而非平方）误差之上，分位数回归对离群值天然稳健——中位数回归（ $\tau = 0.5$ ）正是最小绝对偏差，最小二乘那个稳健的表亲。

读懂扇形展开的线

真正的洞见来自一次性拟合好几个分位数，并把这些线放在一起看：

分位数线揭示了什么。如果它们保持平行，离散程度是恒定的——预测变量移动整个分布。如果它们扇形散开，离散程度随预测变量增大（异方差）——这是一条单一的均值线完全藏起来的东西。

如果分位数线大致平行，预测变量同等地移动整个分布（离散程度恒定）。如果它们扇形散开，离散程度随预测变量增大——异方差——意味着预测变量影响的不只是水平，还有变异性。那种扇形展开对一条单一的均值线是不可见的，而它常常是最重要的发现：「随着 X 增加，结果不只是上升，它们变得更不平等。」

它擅长什么

在离散程度或尾部与中心同等要紧之处，分位数回归赢得自己的位置：

预测区间——拟合第 5 和第 95 分位数，你就有了一个直接、诚实的区间（「90% 的情形落在这两者之间」）——保形预测的近亲。
风险与尾部——直接建模损失或延误的第 99 百分位，在那里极端才是关切所在，而非平均。
公平分析——一个效应对分布的底部与顶部是否不同？（一个项目抬高的是最弱势的人，还是只是已经过得好的人？）均值告诉不了你；分位数回归能。

诚实的局限

几条告诫让它保持诚实：

它在我工作中的体现

当平均值不是那个问题时

政府分析里许多最重要的问题，都不是关于平均值的——它们是关于分布的：最坏情形的等待或延误（第 95 百分位，而非均值）、一项干预帮的是最弱势的人还是只是已经占优的人（公平），以及结果有多不平等、那是否在拉大。分位数回归在均值回归视而不见之处直接回答这些，而那些扇形展开的线是一种有力的方式，去展示一个预测变量增加的不只是一个结果的水平，还有它的不平等。

它还与我所倚重的几个邻居相配：它天然稳健（中位数回归 = 最小绝对偏差），它给出诚实的预测区间（拟合两个分位数），而对于真正的尾部它交棒给极值理论。知道平均值很少就是全部的故事——分位数回归是你询问其余部分的方式。

60 秒回顾

普通回归建模均值——它藏起一个预测变量如何影响底部对顶部。分位数回归建模任何条件分位数（中位数、第 90……）。
它最小化弹球 / 检验损失——不对称的绝对误差；对 τ=0.9，低估的代价多 9 倍，于是线落在第 90 百分位。
建立在绝对（而非平方）误差之上 → 天然稳健；中位数回归 = 最小绝对偏差。
拟合好几个分位数并把它们放在一起读：平行 = 离散程度恒定；扇形展开 = 异方差（预测变量改变离散程度/不平等——对一条均值线不可见）。
非常适合预测区间（拟合两个分位数）、风险/尾部，以及公平（对最弱势者与顶部的效应）。
告诫：分位数交叉，以及极端分位数需要更多数据——真正的尾部交给 EVT。

条件分位数的想法、弹球损失的不对称、异方差的读法，以及分位数交叉/尾部数据的告诫，反映了当前的分位数回归参考文献以及课程。